２つのコンデンサーを接続する場合（電池なし）
図１のように、電気容量 \( C_1 \)〔F〕, \( C_2 \)〔F〕のコンデンサー \( \mathrm{C_1} \) , \( \mathrm{C_2} \)、スイッチ \( \mathrm{S} \) 、抵抗 \( \mathrm{R} \) からなる回路がある。はじめ、スイッチ \( \mathrm{S} \) は開かれており、コンデンサー \( \mathrm{C_1} \) の電気量は \( Q \)〔C〕、コンデンサー \( \mathrm{C_2} \) の電気量は \( 0 \) C であるとする。
では、\( \mathrm{S} \) を閉じると、どうなるでしょうか。
\( \mathrm{S} \) を閉じると、回路に時計回りの電流が流れ（電子が反時計回りに移動し）、コンデンサー \( \mathrm{C_1} \) に蓄えられていた電荷の一部がコンデンサー \( \mathrm{C_2} \) に移動し、 \( \mathrm{C_1} \) と \( \mathrm{C_2} \) に電荷が蓄えられます。また、十分時間がたてば電荷の移動が完了し、回路を流れる電流は 0 A となるでしょう。
この時点で、図２のような電位のイメージができていることが理想です。
\( \mathrm{S} \) を閉じる前（図２左の状態）、コンデンサー \( \mathrm{C_1} \) の電位差は \( \frac{Q}{C_1} \)〔V〕ですが、\( \mathrm{C_2} \) の電位差は \( 0 \) V です。スイッチ \( \mathrm{S} \) の左右で、電位（高さ）に差がある状態です。
\( \mathrm{S} \) を閉じると回路に電流が流れ、\( \mathrm{C_1} \) の電荷が \( \mathrm{C_2} \) に移動して、\( \mathrm{C_1} \) の電位差は小さくなり、\( \mathrm{C_2} \) の電位差は大きくなります。そして、最終的に２つのコンデンサーの電位差が等しくなり、電荷の移動が終わります。
現時点では、コンデンサー \( \mathrm{C_1} \) を電池と考え、コンデンサー \( \mathrm{C_2} \) を充電したと考えればよいです。ただし、\( \mathrm{C_1} \) は \( \mathrm{C_2} \) を充電すればするほど電位差（電圧）が下がっていく特殊な電池と考えます。
「コンデンサーの状態が変わったとき」に考えること
「２つのコンデンサーを直列接続する場合（電池あり）」で示しましたが、コンデンサーの状態が変わったとき、私たちはコンデンサーの \( Q \) , \( C \) , \( V \) をすべて知ること（使える文字が決まっていれば、使える文字を用いてすべて表すこと）が目標となります。
では、前と同じの流れ（「まとめ」の流れ）で、\( Q \) , \( V \) を求めましょう。
コンデンサーを含む回路（十分時間がたったとき）における \( Q \) , \( V \) の求め方
注目しているコンデンサーの電気量を \( Q \)、極板間の電位差を \( V \) とおく。
コンデンサー \( \mathrm{C_1} \) , \( \mathrm{C_2} \) に電荷が蓄えられるので（ \( \mathrm{C_1} \) , \( \mathrm{C_2} \) の状態が変わるので）、図３のように，それぞれ \( Q_1 \)〔C〕, \( V_1 \)〔V〕, \( Q_2 \)〔C〕, \( V_2 \)〔V〕とおくことが基本ですが、おく文字を減らせそうなら、はじめから減らした方がよいので、工夫できないか考えます。
すでに確認したとおり、電池をつけずに２つのコンデンサーで回路をつくると、最終的に２つのコンデンサーの電位差は等しくなるので、文字を減らして、\( Q_1 \)〔C〕, \( Q_2 \)〔C〕, \( V \)〔V〕とおくことにします（図４）。
注目しているコンデンサーの数だけ \( Q=CV \) の式を立てる。
コンデンサー \( \mathrm{C_1} \) , \( \mathrm{C_2} \) に注目して式を立てて、\[ Q_1=C_1 V … ① \\ Q_2=C_2 V … ② \] これで、式を２つ立てることができました。
今回も、文字を３つ（ \( Q_1 \) , \( Q_2 \) , \( V \) ）おいたので、解くためには方程式が３つ必要です。あと１つ式を立てましょう。
「電圧の関係式」と「電気量保存の式」を、必要に応じて立てる。
今回は、まず「電気量保存の式」について考えましょう。電気量保存の法則より、「コンデンサーで挟まれた部分（孤立部分）の電気量の総和は一定」なので、スイッチ \( \mathrm{S} \) を閉じる前の図１と、閉じて十分時間がたったときの図４を見ながら孤立部分を探します。
図５のように、緑の孤立部分に注目すると、電気量保存の法則より、\[ Q + 0 = Q_1 + Q_2 … ③ \] が成り立ちます。これで、式を３つ立てることができました。
なお、「電圧の関係式」については、すでに電圧（電位）の関係を考えて文字をおいたので（文字を減らすときに使ったので）、ここでは必要ありません。
連立方程式を解く。
連立方程式を解いて、\( Q \) , \( V \) を求めます。（解き方の詳細は、補足「連立方程式の解き方（例）」に示しました。）
①,②,③より、\( Q_1 = \frac{C_1}{C_1 + C_2} Q \)〔C〕, \( Q_2 = \frac{C_2}{C_1 + C_2} Q \)〔C〕, \( V = \frac{Q}{C_1 + C_2} \)〔V〕
これで目標達成です。
補足
連立方程式の解き方（例）
\[ Q_1=C_1 V … ① \\ Q_2=C_2 V … ② \\ Q + 0 = Q_1 + Q_2 … ③ \]
〔解き方１〕
①,②を③に代入して、\[ Q=C_1 V + C_2 V \\ よって、V = \frac{ Q }{ C_1 + C_2 } 〔\mathrm{V}〕\] ①,②に \( V \) を代入して、\[ Q_1=C_1 V = \frac{C_1}{C_1 + C_2}Q〔\mathrm{C}〕\] \[ Q_2=C_2 V =\frac{C_2}{C_1 + C_2}Q〔\mathrm{C}〕\]
〔解き方２〕（比などを利用して、工夫して解きます）
①,②より、\[ V=\frac{Q_1}{C_1}=\frac{Q_2}{C_2} \\ よって、Q_1：Q_2 = C_1：C_2 \] ③より、\( Q=Q_1+Q_2 \) なので、（ \( Q \) を \( Q_1 \) と \( Q_2 \) に、\( C_1 \)：\( C_2 \) で分けて、）\[ Q_1=Q \times \frac{C_1}{C_1+C_2}=\frac{C_1}{C_1+C_2}Q〔\mathrm{C}〕\] \[ Q_2=Q \times \frac{C_2}{C_1+C_2}=\frac{C_2}{C_1+C_2}Q〔\mathrm{C}〕\] ①(または②)より、\[ V=\frac{Q_1}{C_1}=\frac{Q}{C_1+C_2}〔\mathrm{V}〕\]
